شوفى الدرس ده يمكن يساعدك
ساندى جاك

في علم الرياضيات، تعتبر مكاملة الدالة نوعاً من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل :المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر.
وأيضاً يمكن أن نقول ان عملة التكامل هي عملية عكسية اعملية التفاضل. بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته. يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا و قيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين : x=a, x=b و المحور x و المنحني المحدد بالدالة ، يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:
ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز :
.
النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل و التي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها . بالتالي إذا عرفنا دالة تربط القيمة x يقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة و محور السينات و من الجهة الخرى محدودة بمحور العينات و المستقيم X=x ، تدعى هذه الدالة ب دالة المساحة و مشتقها هو الدالة نفسها ، لذلك ندعو تابع المساحة عكس الاشتقاق أو التابع الأصلي للدالة .
يقوم حساب التكامل على إيجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها .
وقد عرض جوتفريد لايبنتز، في 13 نوفمبر 1675، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت منحنى الدالة ص = د(س).
يوجد عدة أنواع للتكامل منها: التكامل بالتجزئ ،التكامل بالتعويض ، التحويل إلى الكسور الجزئية ، الاختزال المتتالى
محتويات

• 1 تاريخ
  • 1.1 التكامل ماقبل عصر علم التفاضل والتكامل
    
  • 1.2 نيوتن وليبنز
    
  • 1.3 صياغة التكاملات
    
  • 1.4 العلامة
• 2 مقدمة
  
• 3 تعريفات منهجية
  
• 4 خواص التكامل
  
• 5 النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل
  
• 6 المصادر

تاريخالتفاضل والتكامل

التكامل ماقبل عصر علم التفاضل والتكامل

توجد دلالات تاريخية على استخدام التكامل في عهد قدماء المصريين (حوالي 1800 قبل الميلاد) فقد دلت بردية موسكو الرياضية على علمهم بصيغة لحساب حجم الهرم المقطوع. وتعد طريقة الاستنزاف من أوائل الطرق المستعملة في إيجاد التكاملات حيث تعود إلى 370 قبل الميلاد وكانت تحسب بها الحجوم والمساحات وذلك بتقسيمها إلى أشكال صغيرة غير منتهية معلومة المساحة أو الحجم. كما تم تطوير هذه الطريقة أكثرمن قبل أرشيميدس واستعمالها في حساب مساحات القطع المكافئ وتقريب لمساحة الدائرة. وفي الصين طورت طرق مماثلة في القرن الثالث الميلادي بواسطة ليوهوي, والذي استخدمها لإيجاد مساحة الدائرة كما تم استعمال هذه الطريق فيما بعد في القرن الخامس من قبل الرياضيين الصينيين - الأب والإبن تسوتشونغ و زوجنغ لإيجاد حجم الكرة.[1] في نفس القرن, استخدم الرياضي الهندي اريابهاتا طريقة مشابهة لحساب حجم المكعب.[2]
أتت الخطوة التالية والهامة في التفاضل التكاملي في القرن الحادي عشر عندما أخترع الحسن بن الهيثم مابات يعرف اليوم مسألة الحسن (نسبة لاسمه المشهور عند الأوروبيين) والتي تقود إلى معادلة الدرجة الرابعة. في كتابه المناظر. بينما كان يحل هذه المسألة, قام بعملية تكامل لإيجاد حجم السطح المكافئ. وقد استكاع بالاستقراء الرياضي تعميم هذه النتيجة لدوال كثيرة الحدود حتى الدرجة الرابعة وقد كان بالتالي قادرا على إيجاد صيغة عامة لتكاملات كثيرة الحدود ولكنه لم يعر أهمية لذلك انذاك.[3] بعض الفكر في التفاضل التكاملي يمكن مصادفتها أيضا في سيدهانتا شيروماني, وهي عبارة عن نص يعود للقرن الثاني عشر للفلكي الهندي بهاسكارا 2.
لم يبدأ ظهور التقدم الملحوظ في علم التكامل التفاضلي إلا مع القرن السادس عشر وفي هذا الوقت كان عمل كافاليري بطريقته الكل لا التجزيء وعمل فيرمات, بدأ بوضع الأساسات لعلم التفاضل والتكامل الحديث. كان لإسحق نيوتن وتورشيلي دورا هاما أيضا في توسيع هذا العلم أوائل القرن السابع عشر اللذان قدما التلميحات الأولى في وجود صلة بين التكامل والاشتقاق في الوقت الذي كان الرياضيون اليابانيون قد أسهمو في أعمال مثيله وبشكل خاص على يد سيكي كاوا.[4] كان منها طرق إيجاد مساحات الأشكال بالتكامل, بتوسيع طريقة الاستنزاف.
نيوتن وليبنز

مثل اكتشاف النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل الفريد من قبل إسحاق نيوتن و ليبنيز تقدما عظيما في علم التفاضل والتكامل. فهي توضح العلاقة بين التكامل والتفاضل. هذه العلاقة, بدمجها مع قرينتها السهلة - الاشتقاق يمكن استغلالها لحساب التكاملات. وبشكل خاص فإن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تساعد في حل مسائل أكثر تعقيدا. وبإعطاء إسم التفاضل المتناهي في الصغر فقد سمحت بتحليل دقيق لدوال متصلة. لقد أصبح هذا العمل التفاض والتكامل الحديث, والذي استمد رمزه من عمل ليبنيز.
صياغة التكاملات

مع أن نيوتن وليبنز أوجدا طريقة نظامية للتكامل إلا أن عملهما كان يفتقر إلى درجة الدقة. فقد هاجم جورج بركلي عبارة متناهي في الصغر ووصفها بكميات الأشباح المغادرة. اكتسب التفاضل والتكامل مع تطور علم النهايات وتوطدت أركانه بفضل أوغستين لويس كوشي في منتصف القرن التاسع عشر. تم أولا صياغة التكامل بدقة باستعمال النهايات من قبل بيرنارد ريمان كما ظهرت صورة أخرى من قبل هنري ليبزغ في تأسيس نظرية القياس.
العلامة

استعمل نيوتن عمودا صغيرا فوق المتغير للإشارة إلى عملية التكامل, أو أن يضع المتغير داخل مربع. كان القضيب العمودي يلتبس مع و , والتي كان قد استعملها نيوتن للإشارة للتفاضلكما كان من الصع على الطابعة التعامل مع المربع, وبالتالي لم يتم تبني هذه العلامات. الرمز الحديث للتكامل الغير محدود تم تقديمه على يد ليبنيز عام 1675 (Burton 1988, p. 359; Leibniz 1899, p. 154), كما أنه قام بموائمة رمز التكامل,:, بعد إطالته للحرف s كتمثيل لاختصار عملية الجمع sum. الشكل الحديث لعلامة التكامل المحدود استعمل لأول مرة من قبل جوزيف فوريير بإضافة حدود التكامل أسفل وأعلى الرمز السابق (Cajori 1929, pp. 249–250; Fourier 1822, §231).
الجدير بالذكر أن بعض المناهج العربية تستعمل الرمز المعكوس للتكامل, , وذلك من أجل تسهيل الرياضيات لمستويات ما قبل الجامعة (كون الكتابة بالعربية من اليمين إلى اليسار وليس العكس)(W3C 2006).
مقدمة

تظهر التكاملات في العديد من الحالات التطبيقية. إذا اعتبرنا بركة السباحة مثلا, إذا كانت مستطيلة الشكل, من طولها, عرضها, وعمقها فمن الممكن إيجاد حجم الماء التي يمكن احتواؤها (لملئها), مساحتها السطحية (التي تغطيها من جميع الجهات), وطول حوافها (بحبل مثلا). لكن إذا كانت بيضاوية الشكل ومدورة من القعر, فإن كل هذه الكميات تستدعي التكامل. قد تكون التقريبات التطبيقية كافية في مثل هذه الأمثلة البسيطة ولكن الدقة الهندسية تتطلب قيما مضبوطة ودقيقة لهذه العناصر.

تقريب التكامل لـ √x من 0 إلى 1, بـ■ 5 عينات على اليمين (فوق) و ■ 12 عينة على اليسار (أسفل)


للبدء, اعتبر المنحنى بين x = 0 وx = 1, و. يكون السؤال:
ماهي المساحة تحت الدالة f, في الفترة 0 إلى 1? ولندعي أن هذه المساحة (حتى الآن غير معلومة) هي تكامل f. يكون الرمز لهذا التكامل هو:
كتقريب أولي فلننظر في مربع الوحدة المعطى بالأضلاع x = 0 إلى x = 1 و nbsp;= 0 and y = f(1) = 1. مساحته هي 1 تماما. ينبغي أن تكون القيمة الحقيقية للتكامل أقل مما هي عليه. بتقليل عرض المستطيلات التقريبية يعطي نتيجة أفضل, وبالتالي عبر الفترة في خمس خطوات, باستعمال نقاط التقريب 0, 1⁄5, 2⁄5, وهكذا حتى 1. بوضع مربعا مناسبا لكل خطوة مستخدمين الارتفاع المناسب لكل قطعة منحنية , وعليه 1⁄5√, 2⁄5√, وهكذا حتى 1√= 1. وبجمع مساحات هذه المستطيلات, نحصل على تقريبا أفضل للتكاملات المقصودة,
لاحظ أننا نأخذ مجموع لقيم دوال عديدة محدودة لـ f, مضروبة في الفرق بين فترتين تقريبيتين متعاقبتين. يمكننا ملاحظة أن التقريب مازال كبيرا. وكلما استخدمنا خطوات أكثر حصلنا على تقريبات أفضل, ولكننا لن نحصل على قيم دقيقة أبدا: بإبدال الـ5 فترات بـ12 فترة نحصل على التقريب 0.6203, وهي تقريب أفضل. مفتاح الفكرة يكمن في الانتقال من العديد من نقاط التقريب المحدودة مضروبة بقيم دالتها إلى استعمال عدد لانهائي أو خطى متناهية في الصغر . بالنسبة للحساب الحقيقي للتكامل, تكون النظرية الأساسية للتكامل هي الرابط الأساسي بين عمليات الاشتقاق والتكامل. وبتطبيقها على منحنى الجذر التربيعي,f(x) = x1/2, تقترح علينا أن نبحث عن المشتق العكسي F(x) = 2⁄3x3/2, ونأخذ ببساطة F(1) − F(0), حيث 0 و1 هي حدود الفترة [0,1].هذه حالة لقاعدة عامة, لإجل f(x) = xq, مع q ≠ −1, تكون الدالة المتعلقة والتي تدعى المشتق العكسي هي وبالتالي فإن القيمة الدقيقة للمساحة تحت المنحنى رسميا كما يلي

شوفى الدرس ده كمان يمكن يساعدك
ساندى جاك


يعد التكامل عملية عكسية تماما للتفاضل. هذا يعني أننا إذا كنا على علم بالتفاضل فسوف نفهم ماهية التكامل وبشكل خاص الغير محدود أو ما يسمى الاشتقاق العكسي.

من السهولة بمكان فهم و إيجاد التفاضل أو الاشتقاق لأي دالة رياضية مهما تعقدت.
كذلك من السهولة فهم تكامل أي دالة رياضية مهما تعقدت إلا أنه ليس من السهل دائما ايجاد قيمته.

يمكن تشبيه سهولة التفاضل بعد فهمه بسهولة إيجاد قيمة الدالة للمتغير على سبيل المثال f(x)=x - sin(x) +1 يسهل تعويضها عند أي قيمة ولتكن x=0 مثلا.

أما صعوبة ايجاد التكامل أحيانا يمكن أن نشبهها في محاولة إيجاد الحل للمعادلة x - sin(x) +1=0

أفضل لك أولا أن تقرأ عن النهايات جيدا ثم تدخل إلى مفهوم التفاضل وبعد ذلك يمكنك الانتقال إلى التكامل.

أنا لن أحاول شرح قوانين التفاضل والتكامل لأن ذلك يتطلب وقتا وجهدا أكثر ولكن يكفي أن تفهم هذان التطبيقان العمليان للتفاضل والتكامل كي تبدأ بالعمل بنفسك.

يهتم علم التفاضل بدراسة التغيرات الصغيرة جدا (نصفها بأنها متناهية في الصغر) وتأثيرها على الدوال. مثال ذلك إيجاد نقاط التقعر للدوال وزوايا المماس ونهاية الدوال المعقدة.

ويهتم علم التكامل بتجميع هذه التغيرات المتناهية في الصغر وإيجاد مساحات المنحنيات الرياضية والحجوم ومراكز ثقل الأجسام وغيرها.

كلمة دالة في الرياضيات هي كلمة عامة يمكن أن تطلق على أي نتيجة نحصل عليها بدلالة المتغيرات. على سبيل المثال يمكن للتفاضل والتكامل أن يكونا دوالا أيضا ويمكن للدوال أن تكون دوالا في متغيرات أو في دوال أخرى وهكذا.

على سبيل المثال لو أننا اعتبرنا الزمن الذي تمر به سيارة على الشارع هو المتغير فإن المسافة التي تقطعه في كل لحظة زمنية تسمى دالة المسافة بالنسبة للزمن وتكون مشتقتها هي دالة السرعة بالنسبة للزمن بينما تكون مشتقة دالة السرعة هي العجلة أو التسارع بالنسبة للزمن.

إذا ما رجعنا بالعلاقات بشكل عكسي نقول أن العجلة دالة في الزمن وأن السرعة هي تكامل العجلة بالنسبة للزمن وأن دالة المسافة هي تكامل دالة السرعة بالنسبة للزمن.

شوفى الرابط ده كمان يمكن يساعدك
ساندى جاك

إضغطى هنا ساندى جاك