الدرس الأول : العلاقه بين ميلى مستقيمين متوازيين :-
إذا كان ل1 ، ل2 مستقيمين متوازيين وميليهما م1 ، م2 على الترتيب
فيقال ل1// ل2 إذا كان م1 = م2 والعكس صحيح إذاكان ل1//ل2 فإن م1 = م2
أمثله : -
1) إذا كان أ (-3 ، -2 ) ، ب ( 6 ، 1 ) ، جـ ( -1 ، 4 ) ، د ( 2 ، 5 )
فأثبت أن : أ ب // جـ د الحــــــــــل : -
تذكر أن : ميل المستقيم المار بالنقطتين ( س1 ، ص1 ) ، ( س2 ، ص2 )
= (ص2 - ص1 )÷ ( س2 - س1 )
نطبق ذلك على مسألتنا :-
ميل المستقيم أ ب = ( 1 +2 ) ÷ ( 6 + 3 ) = 3 ÷ 9 = 1/3
ميل المستقيم جـ د = ( 5 - 4 ) ÷ ( 2 + 1 ) = 1/3
بما أن ميل أ ب = ميل جـ د
إذاً أ ب // جـ د
مثال 2) : -
إذا كان ل1 : 2 ص - 3 س = 9
ل2 : 6 س - 4 ص + 10 = 0
فأثبت أن : ل1 // ل2
الحــــــــــــل :
تذكر أن : معادلة المستقيم هى ص = م س + جـ
حيث م هى ميل المستقيم ، جـ هو طول الجزء الذى يقطعه هذا المستقيم من محور الصادات
هيا نطبق ذلك على هذا التمرين
ل1 : 2 ص = 3 س + 9 بالقسمة على 2
ل1 : ص = (3/2) س + (9/2) ======> ميل ل1 = 3/2
ل2 : 6 س - 4 ص + 10 = 0
ل2: -4 ص = - 6 س - 10 بالقسمة على (-4)
ل2 : ص = (3/2) س + (5/2) ======> ميل ل2 = 3/2
بالتالى ل1 // ل2 مثال 3 ) :-
إذا كان المستقيم ل1: أ س + 3 ص - 7 = 0 يوازى المستقيم ل2 المار بالنقطتين
( 2 ، 3 ) ، ( - 1 ، 4 ) فأوجد قيمة أ الحــــــــــــــــــل :
ل1 : 3 ص = - أ س + 7 بالقسمة على 3
ل1 : ص = ( -أ / 3 ) س + (7/3) ======> ميل ل1 = - أ / 3
ميل المستقيم ل2 = ( 4 - 3 ) ÷ ( -1 - 2 ) = -1 / 3
بما أن ل1 // ل2
إذاً ميل ل1 = ميل ل2
-أ / 3 = -1 / 3 ======> أ = 1 وهو المطلوب
مثال تدريبى للطالب :
إذا كان أ ( -1 ، 3 ) ، ب ( 0 ، 2 ) ، جـ ( -3 ـ -1 ) ، د ( -2 ، 2 )
فأثبت أن الشكل أ ب جـ د شبه منحرف
الفكره : أوجد ميل أ ب ، ميل ب جـ ، ميل جـ د ، ميل د أ
ستجد ميل أ د = ميل ب جـ ======> أ د // ب جـ
ستجد ميل أ ب =/= ميل جـ د =======> أ ب لا يوازى جـ د
إذاً الشكل أ ب جـ د فيه ضلعين متقابلين متوازيين والضلعين الآخرين غير متوازيين
إذا الشكل أ ب جـ د شبه منحرف
تمارين للطالب:-
1) أثبت أن النقط أ ( 1، 4 ) ، ب ( - 4 ، 1 ) ، جـ ( 6 ، 7 ) على استقامه واحده
2) إذا كانت جـ ( - 3 ، - 4 ) ، د ( 6 ، 8 ) فأثبت أن المستقيم جـ د يمر بنقطة الأصل 0
3) طائرتان تحلقان فى نفس المستوى ، الطائره الأولى تطير فى خط مستقيم مار بالنقطتين أ ( 2 ، 4 )
ب ( 3 ، 8 ) والطائره الثانيه تطير فى خط مستقيم معادلته هى : ص - 4 س = 2
هل يمكن أن تتقابل الطائرتان ؟
4) فى إحدى المدن الجديده تم إنشاء طريق يربط بين النقطتين أ ( 3 ، 2 ) ، ب ( 2 ، 9 )
وتم وضع أعمدة إناره فى خط مستقيم موازى لهذا الطريق بدءاً من النقطه جـ ( 1 ، 6 )
فأوجد معادلة خط الكهرباء المستخدم لإنارة الطريق 0
5) أثبت أن الشكل أ ب جـ د متوازى أضلاع
حيث أ ( -1 ، 1 ) ، ب ( 0، 5 ) ، جـ ( 5 ، 6 ) ، د ( 4 ، 2 ) 0
الدرس الثانى : -
العلاقة بين ميلى مستقيمين متعامدين : -
إذا كان ل1 ، ل2 مستقيمين متعامدين وميليهما م1 ، م2 على الترتيب
فيقال ل1عمودى على ل2 إذا كان م1 × م2 = -1 والعكس صحيح إذاكان ل1عمودى على ل2 فإن م1 ×م2 = -1
أمثله : -
1) إذا كانت أ ( 2 ، 3 ) ، ب ( 5 ، 7 ) ، جـ ( 9 ، 4 ) ثلاث نقط فى مستوى واحد
فأثبت أن أ ب عمودى على ب جـ الحـــــــــــــــــــل : - ميل أ ب = ( 7 - 3 ) ÷ ( 5 - 2 ) = 4/3
ميل ب جـ = ( 4 - 7 ) ÷ ( 9 - 5 ) = -3 / 4
ميل أ ب × ميل ب جـ = 4 / 3 × - 3 / 4 = - 1
إذاً أ ب عمودى على ب جـ
مثال 2 ) :
إذا كان ل1 : 2 س - 3 ص = 5
ل2 : 3 س + 2 ص - 4 = 0
فأثبت أن : ل1 عمودى على ل2 الحــــــــــــــــل :
ل1 : -3 ص = - 2 س + 5 بالقسمه على -3
ل1 : ص = (2/3) س - ( 5/3) ===========> ميل ل1 = 2/3
ل2: 2 ص = -3 س +4 بالقسمة على 2
ل2 : ص = (-3/2) س - 2 ==============> ميل ل2 = (- 3 / 2 )
ميل ل1 × ميل ل2 = 2 / 3 × -3 / 2 = - 1
إذاً ل1 عمودى على ل2
مثال (3 ) :
إذا كانت أ ( -2 ، 6 ) ، ب ( 4 ، 2 ) ، جـ ( 2 ، -1 ) ، د ( -4 ، 3 )
فأثبت أن : الشكل أ ب جـ د مستطيل
الفكره :-
توجد ميل أ ب ، ميل ب جـ ، ميل جـ د ، ميل د أ
نجد أن ميل أ ب × ميل ب جـ = -1
ميل ب جـ × ميل جـ د = -1
ميل جـ د × ميل د أ = -1
ميل أ ب × ميل أ د = -1
إذاً أ ب جـ د مستطيل
تمارين تدريب للطالب :
1) أثبت أن المثلث أ ب جـ قائم الزاويه حيث :
أ ( -1 ، -1 ) ، ب ( 2 ، 3 ) ، جـ ( 6 ، 0 )
2) إذا كان :
ل1 : 3 س - 2 ص + 7 = 0 ، ل2 : 6س - ك ص + 2 = 0
فأوجد قيمة ك إذا كان :
أولاً : ل1 // ل2
ثانياً : ل1 عمودى على ل2
3) أوجد معادلة المستقيم العمودى على المستقيم المار بالنقطتين أ ( 2 ، 5 ) ، ب ( -3 ، 4 )
ويمر بنقطة الأصل 0
4) إذا كان الشكل أ ب جـ د مستطيل حيث أ ( 2 ، ل ) ، ب ( -1 ، -1 ) ، جـ ( 3 ، -4 ) ، د ( 6 ، م )
فأوجد قيمة ل ، م 0
الدرس الثالث :
احداثيات منتصف قطعه مستقيمه : -
إذا كانت أ ( س1 ، ص1 ) ، ب ( س2 ، ص2 )
فإن إحداثى منتصف القطعه المستقيمة أ ب هى :
( [س1 + س2] ÷2 ، [ص1 + ص2 ] ÷ 2 )
مثال 1 ) : -
إذا كانت أ ( 2 ، 5 ) ، ب ( 4 ، -1 ) فأوجد احداثى منتصف القطعه المستقيمه أ ب الحــــــــــــــــل :
احداثى نقطة المنتصف = ( (2+4)÷2 ، ( 5 -1 )÷2 ) = ( 3 ، 2 )
مثال 2) :
إذا كانت جـ ( س ، 3 ) هى منتصف القطعه المستقيمه أ ب
حيث أ ( 4 ، -1 ) ، ب ( -2 ، ص ) فأوجد قيمة س ، ص الحـــــــــــــــــل :
بما أن جـ هى منتصف القطعه أ ب فإن :
س = (4 - 2 ) ÷ 2 = 1
3 = ( -1 + ص ) ÷ 2 ==========> ص = 7
مثال 3 ) :
أ ب جـ د متوازى أضلاع حيث أ ( 3 ، -1 ) ، ب ( -5 ، 2 ) ، جـ ( -2 ، 4 )
أوجد احداثى د الحــــــــــــــــــل :
بفرض أن احداثى د ( س ، ص )
بفرض أن م هى نقطة تقاطع القطرين
م منتصف أ جـ
م = ( ( 3 - 2 ) ÷ 2 ، ( -1 + 4 ) ÷2 ) = ( 1/2 ، 3/2 )
م منتصف ب د
م ( 1/2 ، 3/2 ) = ( (-5+س) ÷2 ، (2 + ص ) ÷2 )
( -5 + س ) ÷ 2 = 1/2
س = 6
( 2 + ص ) ÷ 2 = 3/2
ص = 1
أمثله تدريب للطالب:-
1)إذا كانت جـ ( 1 ، 2 ) هى منتصف القطعه المستقيمة أ ب
حيث أ ( 2 ، 3 ) فأوجد احداثى ب 0
2) أوجد معادلة المستقيم العمودى على القطعه المستقيمه أ ب من منتصفها
حيث أ ( 3 ، -5 ) ، ب ( 1 ، -1 ) 0
3) أ ب جـ مثلث ، س منتصف أ ب ، ص منتصف أ جـ
أثبت أن س ص // ب جـ
حيث أ ( -3 ، 5 ) ، ب ( -1 ، 3 ) ، جـ ( 3 ، -1 )
دون استخدام نظرية القطعه المستقيمة الواصله بين منتصفى ضلعين فى مثلث 0
4) أ ب جـ مثلث فيه أ ( -2 ، 4 ) ، ب ( 5 ، 1 ) ، جـ ( 3 ، -3 )
أ د متوسط فى المثلث
أوجد معادلة المستقيم أ س 0
5) أ ب جـ د معين حيث أ ( -1 ، 0 ) ، ب ( 2 ، 1 ) ، جـ ( 3 ، 4 ) فأوجد احداثى د
الدرس الرابع : -
البعد بين نقطتين معلومتين : -
بفرض أ ( س1 ، ص1 ) ، ب ( س2 ، ص2 )
طول القطعه أ ب = جذر {( س2 - س1 )^2 + (ص2 - ص1 )^2 }
طول القطعه أ ب = جذر { مربع فرق السينات + مربع فرق الصادات }
مثال 1 :
إذا كانت أ ( 3 ، 0 ) ، ب ( -3 ، 8 ) فأوجد طول القطعه المستقيمه أ ب
الحل : -
أ ب = جذر { ( -3 -3 )^2 + ( 8 - 0 )^2 }
أ ب = جذر { 36+ 64} = جذر100 = 10 وحدة طول
مثال 2 : -
برهن بدون استخدام الميل أن النقط : أ ( 3 ، 1 ) ، ب ( 6 ، 5 ) ، جـ ( -3 ، -7 )
على استقامه واحده 0 الحل : -
أ ب = جذر { ( 6 - 3 )^2 + ( 5 - 1 )^2 } = جذر { 9 + 16 } = جذر 25 = 5 وحدات ===>(1)
ب جـ = جذر { ( - 3 -6 )^2 + ( -7 -5 )^2 } = جذر { ( -9)^2 + ( -12)^2 }
ب جـ = جذر { 81 + 144 } = جذر 225 = 15 وحده =====> (2)
أ جـ = جذر { (-3-3)^2 + (-7-1)^2 } = جذر { 36 + 64 } = جذر 100 = 10 وحدات ===>(3)
من (1) & (2) & (3) ينتج أن :
أ ب + أ جـ = ب جـ
إذاً : أ ، ب ، جـ على استقامه واحده
مثال 3 : -
أثبت أن المثلث الذى رؤوسه النقط :
أ ( 3 ، 4 ) ، ب ( 8 ، -1 ) ، جـ ( 2 ، -3 )
يكون مثلث متساوى الساقين الحـــــــــــل : -
أ ب = جذر { ( 3 - 8 )^2 + ( 4 +1 )^2 } = جذر { 25 + 25 } = جذر 50 وحدة طول ===>1
ب جـ = جذر { ( 8 - 2 )^2 + ( -1 +3 )^2 } = جذر{ 36 + 4 } = جذر 40 وحدة طول ===>2
أ جـ = جذر { ( 3 - 2 )^2 + ( 4 + 3 )^2 } = جذر{1 +49 } = جذر 50 وحدة طول ===>3
من ا & 3 ينتج أن :
أ ب = أ جـ = جذر 50 وحدة طول
إذاً : أ ب جـ مثلث متساوى الساقين
مثال 4 : -
برهن أن الشكل أ ب جـ د مستطيل ثم أوجد مساحته
حيث أ ( 1 ، 3 ) ، ب ( 4 ، 5 ) ، جـ ( 8 ، -1 ) ، د ( 5 ، -3 ) الحــــــــــــــــل : -
أ ب = جذر { ( 1 - 4 )^2 + ( 3 - 5 )^2 } = جذر 13 وحدة طول
جـ د = جذر { ( 8 - 5 )^2 + ( -1 + 3 )^2 } = جذر 13 وحدة طول
ب جـ = جذر { ( 4 - 8 )^2 + ( 5 + 1 )^2 } = جذر 52 وحدة طول
أ د = جذر { ( 1- 5 )^2 + ( 3 + 3 )^2 } = جذر 52 وحدة طول
إذاً :
أ ب = جـ د ، ب جـ = أ د
إذاُ الشكل أ ب جـ د متوازى أضلاع
أ جـ = جذر {( 1 - 8 )^2 + ( 3 + 1 )^2 } = جذر 65 وحدة طول
ب د = جذر { ( 4- 5 )^2 + ( 5 + 3 )^2 } = جذر 65 وحدة طول
إذاً أ جـ = ب د
إذاً : الشكل أ ب جـ د مستطيل
مساحة المستطيل أ ب جـ د = أ ب × ب جـ = جذر 13 × جذر 52 = 26 وحدة مربعه
تمارين تدريب للطالب : -
1) إذا كان أ ( 4 ، 5 ) ، ب ( س ، 1 ) والبعد بين أ ، ب = 5 وحدات فأوجد قيمة س
2) هل النقط : أ ( - 3 ، -2 ) ، ب ( 5 ، 2 ) ، جـ ( 3 ، 6 ) ، د ( -1 ، 4 )
هى رؤوس شبه منحرف ؟
3) هل النقط : أ ( -5 ، -3 ) ، ب ( -2 ، -1 ) ، جـ ( 4 ، 3 ) ، د ( 1 ، 1 )
هى رؤوس متوازى أضلاع ؟
4) أثبت أن المثلث الذى رؤوسه النقط :
أ ( 5 ، 2 ) ، ب ( 2 ، -2 ) ، جـ ( -2 ، 1 )
يكون : 1- مثلث قائم 2 - متساوى الساقين
5) أثبت أن الشكل الذى رؤوسه النقط : أ ( 3 ، 3 ) ، ب ( 5 ، 9 ) ، جـ ( -1 ، 7 ) ، د ( -3 ، 1 )
يكون معين ثم أوجد مساحته
5) أثبت أن النقط أ ، ب ، جـ هى رءوس مثلث قائم الزاويه ثم أوجد مساحته حيث :
أ( 8 ، 5 ) ، ب ( 7 ، -2 ) ، جـ ( 5 ، 4 )
6) أوجد قيمة هـ التى تجعل البعد بين النقطتين ( 2 ، هـ ) ، ( -1 ، 2 ) يساوى 5
7) هل النقط أ ، ب ، جـ تصلح أن تكون رءوس مثلث ؟
حيث أ ( 4، 2 ) ، ب ( 1 ، 0 ) ، جـ ( -2 ، -2 )
8) أثبت أن المثلث أ ب جـ متساوى الساقين حيث :
أ ( 3 ، -4 ) ، ب ( 5 ، -2) ، جـ ( 5 ، -6)
9) أثبت أن المثلث و أ ب متساوى الساقين حيث و هى نقطة الأصل
أ ( 2 ، -2 ) ، ب ( 2 ، 2 )
10) أثبت أن النقط أ ( -2، -2) ، ب ( 1، 2 ) ، جـ ( 6 ، 4 ) ليست على استقامه واحده
20) أ ب جـ مثلث حيث أ ( 8 ، 5 ) ، ب ( 0 ، 1 ) ، جـ ( 9 ، -2 )
أولاً : أوجد طول ب جـ ثم معادلة المستقيم ب جـ
ثانياً : معادلة الارتفاع الساقط من أ على المستقيم ب جـ
ثالثاً : أوجد نقطة تقاطع الارتفاع الساقط من أ على المستقيم ب جـ مع المستقيم ب جـ
رابعاً : أوجد طول الارتفاع الساقط من الرأس أ على القاعده ب جـ
خامساً : أوجد مساحة المثلث أ ب جـ
21) أثبت أن المستقيم ل الذى معادلته :
3/2 س - ص = 9
يمس الدائره التى مركزها م ( 0 ، 1 ) عند النقطه أ ( 3 ، -1 )
ثم أوجد مساحة الدائره
27) أوجد قيمة ك التى تجعل المثلث أ ب جـ قائم الزاويه فى ب ومتساوى الساقين
حيث أ ( 1 ، 2 ) ، ب ( -2 ، 6 ) ، جـ ( 2 ، ك )
ثم أوجد مساحة المثلث
28) فى مستوى إحداثى متعامد مثل النقط
أ ( 3 ، 0 ) ، ب ( 0 ، 6 ) ، جـ ( -1 ، 0 ) ، د ( 0 ، -2 )
ثم أثبت أن :
المثلث أ و ب يشابه المثلث جـ و د
حيث و هى نقطة الأصل
[1]
شرح + تمارين هندسه على المنهج كامل